Юрий Демич окончил студию при Куйбышевском театре драмы в 1966 году и ГИТИС в 1971-м.
В 1966-1973 гг. работал в Куйбышевском театре драмы им. М. Горького, где блистательно сыграл Глумова («На всякого мудреца довольно простоты» А.Н. Островского), Валентина («Валентин и Валентина» М.М. Рощина), Бекташа («Материнское поле» по Ч.Т. Айтматову), Маркиза Дорсета («Ричард III» У. Шекспира) и др. Роль Гамлета («Гамлет» У. Шекспира) – самая яркая и значительная работа Юрия Демича в Куйбышеве, которая определила его дальнейшую судьбу – он был приглашён Георгием Александровичем Товстоноговым в Ленинград.
С 1974-го по 1988 год – в труппе БДТ (Большого драматического театра).
В 1988 -1990 гг. Ю. Демич работал в Московском театре им. М.Н. Ермоловой.
Много снимался в кино и на телевидении.
Народная артистка СССР Вера Александровна ЕРШОВА вспоминала:
«Я видела его первые шаги на сцене, для меня он навсегда останется совсем молодым, юным Юрой, сыном Александра Ивановича Демича. Мне довелось сыграть с Юрой немало спектаклей, начиная с его первой роли принца Дорсета в нашем знаменитом «Ричарде III». Я в этом спектакле играла королеву Елизавету. Ему не было, по-моему, семнадцати, когда он впервые вышел на сцену. Дорсет его был тоненький, хрупкий, совсем ещё мальчик. Помню, были в моей роли такие слова: «Принц Дорсет, с трепетной душой, изгнанником блуждает на чужбине». И так подходили эти слова внешнему и внутреннему облику Юры Демича – Дорсета. Он был, именно, с трепетной душой… Потом мы играли с ним «Гамлета» в постановке Петра Львовича Монастырского. Юра – Гамлета, а я королеву Гертруду, его мать. Юра был прекрасным партнёром, очень чутким, с любовью к импровизационности, свойственной всем по-настоящему талантливым артистам. И человечески он покорял – открытостью души и доброжелательностью. И серьёзностью отношения к театру. До сих пор помню широко раскрытые, полные боли его глаза в сцене, когда Гамлет приходит к матери в последней надежде убедить её. Он словно в самом деле обращал «глаза мне прямо в душу». Столько было в них мольбы, надежды, отчаянья… Ещё вспоминаются необыкновенные по нынешним временам отношения Юры Демича с отцом, народным артистом РСФСР Александром Ивановичем Демичем. Юра очень его любил и уважал. Отец был для него первым учителем, первым строгим судьёй, его суждения – главным нравственным критерием. Причём, отношения эти были как бы «на равных», без сюсюканья, строгие, мужские, творческие. Помню, мы играли с Александром Ивановичем наш любимый спектакль «Милый лжец» (постановка Татьяны Дунаевской). Он – Бернарда Шоу, я – английскую актрису Патрик Кемпбл. Так вот, Юра, вместе с моим мужем Николаем Николаевичем Кузьминым, приходили на каждый спектакль. Садились в зрительный зал, смотрели… И у нас с Александром Ивановичем было как-то тепло на душе. Они всегда появлялись перед последним актом, и Юра непременно стучался ко мне в гримуборную, говорил: «Вера Александровна, добрый вечер, мы здесь, на посту…». И широко улыбался. После спектакля мы вместе шли домой и обсуждали, как прошла сегодня та или иная сцена. И я, и Александр Иванович очень серьёзно относились к замечаниям совсем в то время юного Юры… У него была врождённая актёрская интуиция. …И кто бы мог тогда подумать, что ему так мало отпущено жизни на земле… Наш театр всегда оставался для него родным домом. И для нас он навсегда останется в памяти вечно юным Гамлетом».